Kvadratna jednačina — Korak po korak do rješenja
Kvadratne jednačine su temelj algebre i pojavljuju se svuda — od fizike do financija. Savladajte ih jednom i zauvijek.
Šta je kvadratna jednačina?
Kvadratna (ili kvadratička) jednačina je jednadžba oblika:
ax² + bx + c = 0
gdje su a, b, c realni brojevi i a ≠ 0. Parametar a je koeficijent uz x², b uz x, a c je slobodni član.
Primjeri kvadratnih jednačina
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 4 = 0 (a=1, b=0, c=−4)
- x² + 1 = 0 (nema realnih rješenja)
Diskriminanta — ključ za rješenja
Prije rješavanja izračunajte diskriminantu D:
D = b² − 4ac
- D > 0: Dva različita realna rješenja
- D = 0: Jedno (dvostruko) realno rješenje
- D < 0: Nema realnih rješenja (postoje kompleksna rješenja)
Kvadratna formula (abc formula)
Kad god imate kvadratnu jednačinu, uvijek možete koristiti:
x = (−b ± √D) / (2a)
Odnosno: x₁ = (−b + √D) / (2a) i x₂ = (−b − √D) / (2a)
Primjer: x² − 5x + 6 = 0
a = 1, b = −5, c = 6
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1
x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
x₂ = (5 − 1) / 2 = 2
Rješenja: x = 2 i x = 3
Primjer: 2x² + 4x + 2 = 0
a = 2, b = 4, c = 2
D = 16 − 16 = 0
x = −4 / (2·2) = −1
Jedno rješenje: x = −1 (dvostruko)
Metoda faktorizacije
Za jednostavne jednačine možete pokušati faktorizaciju — tražite dva broja čiji je zbroj −b/a, a umnožak c/a.
Za x² − 5x + 6 = 0: tražimo p + q = 5 i p·q = 6. Odgovor: p = 2, q = 3.
Jednačina se piše kao: (x − 2)(x − 3) = 0, dakle x = 2 ili x = 3.
Metoda dopunjavanja kvadrata
Korisna za razumijevanje, ali manje praktična od formule:
x² + 6x − 7 = 0
x² + 6x = 7
x² + 6x + 9 = 7 + 9
(x + 3)² = 16
x + 3 = ±4
x = 1 ili x = −7
Grafičko tumačenje
Kvadratna jednačina ax² + bx + c = 0 predstavlja parabolu y = ax² + bx + c. Rješenja su točke gdje parabola presijeca os x:
- D > 0: Parabola presijeca os x u dvije točke
- D = 0: Parabola tangira os x (dodiruje u jednoj točki)
- D < 0: Parabola ne presijeca os x (cijela je iznad ili ispod osi)
Ako je a > 0, parabola je "smješka" (otvori gore). Ako je a < 0, parabola je "tužna" (otvori dolje).
Vièteove formule — veza koeficijenata i rješenja
Ako su x₁ i x₂ rješenja kvadratne jednačine ax² + bx + c = 0:
- Zbroj rješenja: x₁ + x₂ = −b/a
- Umnožak rješenja: x₁ · x₂ = c/a
Ovo je brz način provjere: za x² − 5x + 6 = 0, rješenja 2 i 3: zbroj = 5 = 5/1 ✓, umnožak = 6 = 6/1 ✓.
Primjene kvadratnih jednačina
Fizika — kretanje
Put tijela pri slobodnom padu: s = v₀t + ½gt². Kada tijelo padne na tlo (s = h), dobivamo kvadratnu jednačinu za t.
Financije
Izračun kamatne stope: P(1+r)² = A daje kvadratnu jednadžbu za r.
Geometrija
Dimenzije pravokutnika čiji je opseg 20 m i površina 24 m²: a + b = 10 i a·b = 24, što daje a² − 10a + 24 = 0.
Koristite naš kalkulator kvadratne jednačine — unesite a, b i c i dobijte korak-po-korak rješenje.
Riješite kvadratnu jednačinu online:
Kalkulator kvadratne jednačine →Često postavljena pitanja
Što je kvadratna jednačina?
Kvadratna jednačina je jednadžba oblika ax² + bx + c = 0, gdje je a ≠ 0. Naziva se kvadratna jer je najveća potencija nepoznanice x upravo 2.
Kako znati koliko rješenja ima kvadratna jednačina?
Diskriminanta D = b² − 4ac određuje broj rješenja: D > 0 → dva realna rješenja; D = 0 → jedno (dvostruko) rješenje; D < 0 → nema realnih rješenja (postoje kompleksna).
Koja je najlakša metoda rješavanja?
Za jednostavne jednačine (poput x² − 5x + 6 = 0) pogađanje faktora je brže. Za opći slučaj uvijek funkcionira kvadratna formula: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).